viernes, 25 de junio de 2010

Método Simplex


El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebraico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamaño. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico. La Forma Estándar incluye:
  • una Función Objetivo a optimizar,
  • lado derecho de las restricciones con valor positivo,
  • variables de decisión no negativas y
  • las restricciones deben ser expresadas como igualdades.

Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo Menor-Igual y se restan en restricciones del Tipo Mayor-Igual. En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores o iguales a cero. 6. En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo disponible, o utilizado por encima de un mínimo disponible. Esto es así cuando la restricción es de un recurso disponible. Cuando la restricción es de una condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un máximo.

El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones. Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás. Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico y a esa variable se le llama variable artificial.

Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solución óptima del modelo.


El Modelo Lineal en su forma estándar general puede ser escrito en notación matriz- vectores, como:

Max Z = cx

Sujeto a : Ax = b

x <= 0

b <= 0

Donde A es una matriz (mxn); x es un vector columna (nx1); b es vector columna (mx1) y c

es un vector fila (1x n). El número de variables es n y el número de restricciones es m.

1._ El Método Simplex funciona, en forma general, de la siguiente forma: Calcula una solución posible inicial y determina sí esa solución es óptima. Si no lo es, se mueve a un punto extremo adyacente, en el conjunto convexo de soluciones posibles, y calcula la nueva solución en ese punto. De nuevo determina si esa solución es o no óptima; si no lo es, repite el proceso anterior.

Así continúa sucesivamente hasta encontrar un punto extremo cuyo valor objetivo no pueda ser mejorado y allí concluye, determinando así que ha encontrado la solución óptima.

2. _Para calcular la solución posible inicial le otorga valor cero a las variables que no son básicas y resuelve para las otras variables básicas. Cada solución posible satisface todas las restricciones.

3. _Para determinar si la solución inicial es óptima, calcula los llamados coeficientes relativos de las variables. Estos valores informan en cuanto variaría el objetivo por cada unidad en que se incremente el valor de la variable a la que se refiere ese coeficiente relativo.

4._ Si la solución no es óptima, al moverse a otro punto extremo adyacente en el conjunto convexo, el Método Simplex efectúa un intercambio de una variable básica por una no-básica.

5._Para determinar cual variable no-básica debe entrar a formar parte de una nueva solución, como variable básica, se utiliza como criterio el seleccionar la variable que mejore en mayor cantidad el objetivo. La medida utilizada para aplicar este criterio son los llamados Coeficientes Relativos de las variables.

6._ Para determinar cuál variable básica debe salir de una solución, para pasar a ser variable no básica, se utiliza como criterio el seleccionar a la variable básica que se hace cero al introducir la nueva variable básica. La medida utilizada para aplicar este criterio es el llamado Ratio Mínimo de la variable. Además de indicar la variable que se hace cero, el Ratio Mínimo informa cuál será el valor de la variable entrante en la nueva solución.

7. _Para calcular una nueva solución posible efectúa operaciones matemáticas que transforman el sistema actual de ecuaciones, en un sistema de ecuaciones equivalente. Este es un proceso iterativo. En cada iteración intercambia una variable básica por una no-básica. Los Coeficientes Relativos y los Ratios Mínimos tiene fórmulas matemáticas para calcularlos.

8._ En cada iteración intercambia una variable básica por una no-básica. En cada solución los Coeficientes Relativos informan si se ha llegado o no al óptimo. Coeficientes Relativos y los Ratios Mínimos tiene fórmulas matemáticas para calcularlos.

9._En las Tablas Simplex se reconoce que hay una solución óptima ÚNICA cuando los coeficientes relativos de variables no-básica tienen valor > que cero en minimización y <>

10._Se reconoce que hay una solución óptima ALTERNA cuando por lo menos uno de los coeficientes relativos de variables no-básica tiene valor igual a cero Esto indicaría que esa variables IGUALARIA el valor óptimo encontrado y por lo tanto, es alterna.

11._ Se reconoce que hay una solución óptima con valor INFINITO cuando por lo menos uno de los coeficientes relativos de variables no-básica tiene un valor que indique que la solución actual puede ser mejorada. Pero al calcular el Ratio Mínimo, éste indica que esa variable puede crecer indefinidamente y por lo tanto también el valor del objetivo.

Se reconoce que hay una solución óptima IMPOSIBLE cuando todos los coeficientes relativos indican que la solución es óptima pero, por lo menos, una variable artificial permanece en la solución con valor mayor que cero.

12._ Se reconoce que hay una solución óptima DEGENERADA cuando por el número de variable básicas con valor mayor que cero es menor que el número de restricciones en el modelo.

13._ El Método Simplex estudiado es el Regular, existen variaciones como el Simplex Revisado y numerosos refinamientos que se le han hecho en aplicaciones para computadora.

Práctica. Solución de Modelos con el Método Simplex.

El siguiente modelo, de dos variables, se usa como ejemplo para ilustrar el proceso de solución con el Método Simplex.

Max 6X1 + 4X2

Sujeto a:

X1 + X2 £ 10

2X1 + X2 ³ 4

X1, X2 ³ 0

La solución matemática que se lee en los diferentes formatos de salida de datos presentados, es la siguiente:

X1 = 10 X2 = 0 Función Objetivo = 60

Holgura de la primera restricción con valor cero (0)

Holgura de la segunda restricción con valor dieciséis (16)

SOLUCIÓN CON EL PROGRAMA LINDO



No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada